Máximos, mínimos y puntos de inflexión

I.Como localizar puntos máximos y mínimos:

la primer derivada igualándola a cero la cordenada Y se encuentra resolviendo la función de X del vértice f´(x) = 0

Conceptos

1) Punto máximo local Punto de una gráfica en donde el valor de una función es mayor que el de los puntos circundantes.

2) Punto mínimo local Punto en una gráfica en donde el valor de una función es menor al de todos los puntos circundantes.

3) Punto de inflexión Punto en la gráfica en la cual la pendiente de la tangente cambia su signo. Un punto de inflexión es un punto máximo local o un punto mínimo local.

4) Función cóncava hacia arriba Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos numerables. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntos críticos o finales de C.

5) Función cóncava hacia abajo una función cóncava es lo opuesto de una funcion convexa

Pendiente de una Recta

I. Concepto de pendiente de una recta “m” Imagen 6 (Ingresar la imagen similar a 1.11 de la pendiente de una recta )

es el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta.

II. Fórmula

M= delta Y / delta X

III. Resolver Ejemplo:

Hallar la pendiente de una recta que pasa porS(6,-4), T(2,-3)

M = Yb-Ya/Xb-Xa = 3+4/2-6 = -1.75

la pendiente es 1.75

Distancia entre dos puntos

1. Descripción de distancia entre 2 puntos (pág7) Imagen 4 (Ingresar la imagen de distancia entre 2 puntos)

la distancia entre dos puntos es la longitud del camino más corto entre ambos. es decir, la medición del grado de cercanía que existe entre los dos

II. Fórmula de distancia entre 2 puntos

A(-2,6) y B (1,10)

III. Resolver Ejemplo:

Hallar las coordenadas del punto situado sobre el ejeY equidistante de los puntos M (5,5) y N (4,2).

como el punto pedido P esta sovre el eje Y, y su abscisa es cero, su ordenada la designamos por Y, entonces P (0,y)

la distancia de P a M es
la raiz 2 de (5-0) al cuadrado + (5,y) 2

y la de P a N es
la raiz 2 de (4-o) 2 + (2-y) 2

como ambas deven ser iguales:
la raiz 2 de (5)2 + (5-y)2 es igual que la raiz cuadrada de (4)2 + (2-y) 2

elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad y efectuamos los cuadrados indicados quedando

25+25-10y+(y)2 = 16+ 4 - 4y + (y)2

candelando (y)2 y dejando en el primer miembro solamente los terminos en y

-10+4y=16+4-25-25

los que nos lleva a Y=5

la respuesta es (0,5)

Ecuaciones Exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen la incógnita en el exponente

Ejemplo # 1
Para resolver este ejercicio se deben igualar las bases y luego eliminarlas

Ejemplo # 2
Hay que recordar que 1 es igual a cualquier número elevado al exponente cero

Ejemplo # 3
Cuando las bases no son iguales se debe aplicar logaritmo decimal o natural a ambos lados de la igualdad

La función logarítmica

Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x>0 le asigna loga x (que es único) se denomina función logarítmica en base a.



Las propiedades de está función se deducen inmediatamente de las de la función exponencial:


a) loga (xy)=loga x+logay para cualesquiera x,yÎ IR.

b) si a es mayor a 1 la función logaritmo correspondiente es estrictamente creciente

c)Para base a mayor a 1 la función logarítmica no esta acotada superior ni inferiormente. De hecho se tiene

d) La función logarítmica es sobreyectiva, es decir para cualquier número real y0 existe un único x0 > 0 tal que loga x0=y0.

e) Para todo número real x>0 se tiene loga x=logbx loga b, cualesquiera que sean los números reales positivos a y b

La función exponencial

Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x le asigna la potencia ax se denomina función exponencial de base a.

Las figuras siguientes muestran funciones exponenciales en las que se observan las propiedades que se detallan a continuación.

Propiedades:

a) ax >0 para todo xÎ IR .

b) La función exponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras que la de base a<1>

c) La función exponencial de base mayor que 1 no está acotada superiormente aunque silo está inferiormente IR. Se tiene

Función racional

Una función racional es una función que se obtiene como cociente de dos funciones polinómicas:

Una función racional está definida en todo IR excepto en los puntos donde el denominador se anula. En su dominio de definición, las funciones racionales son continuas e indefinidamente derivables.

Funcion polinómica

Una función polinómica es una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente natural:

Las funciones polinómicas son continuas e indefinidamente derivables en todo IR.

La función lineal

En esta página vamos a estudiar un poco más la función lineal. Este estudio consta de dos partes:

Estudio de la pendiente o inclinación de la línea en el plano.

.

Estudio de la ubicación de la línea en el plano de coordenadas.Estos son los dos elementos básicos para plantear la ecuación de una función lineal:
.

La fórmula de la función lineal es la siguiente:

y=mx+b

m = pendiente de la línea y marca la inclinación en el plano.

b = constante marca el punto de intersección de la línea con el eje de las ordenadas.

Funciones cuadraticas

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0.

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

Esta curva simétrica se llama parábola.Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

La derivada en radicales

En matemática:

El n-ésimo radical o raíz de un número a, que es el número cuya n-ésima potencia es a (ver también raíz cuadrada);as propiedades, entre ellas:

raíz de una raíz, raíz de una potencia, simplificación de radicales, ampliación de radicales, raíz de un producto, raíz de un cociente, suma de radicales, reducción a índice común, racionalización de denominadores, cociente de radicales, cociente de radicales de diferentes índices, radicales semejantes y no semejantes, adicción y sustracción entre radicales semejantes y no semejantes, con sus respectivos ejemplos.

Así mismo alcanzar las expectativas esperadas en la materia, de igual manera aumentar conocimientos en el área de matemática.

Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.

Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla:

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

La Circunferencia

La Circunferencia


La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P (x, y) que son equidistantes de un punto fijo.


EL punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio

Ejemplo:

Este uno de los problemas que nos podemos encontrar para la resolución o comprensión de este tema.

Primero te daré de entrada un formulario que te podrá ayudar a la resolución de estos problemas que veremos a continuación relacionados con la circunferencia.

Formulario:

Circunferencia:

La ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Quedando: x2 + y2 = 25

El centro se representa:C (h , k) o (0 , 0)

Funciones conicas

Esta es una pequeña informacion

Las figuras geométricas que estudiaremos a continuación son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

Como se muestra en la siguiente figura (b), si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse.

Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, como se muestra en la siguiente figura (c), entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.

Si un plano corta a los dos mantos de un cono, como se muestra en la figura (d), la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.

La parabola

La Parábola


La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.

La elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constate, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos.

Definiciones.

Para haces este punto mas explicito te daré unos conseptos que deberás entender para la resolución de problemas en cuanto a "la elipse".

*Focos: Los puntos F y F' son los puntos fijos denominados focos.

*Eje focal: Es una recta que pasa por los focos.

*Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal.

*Eje mayor: Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse.

*Centro de la elipse: Es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de la elipse.

*Eje menor: Es el segmento de la recta que pasa por el centro de la elipse.

*Lado recto: El segmento de recta que es perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos extremos están en la elipse se llama lado recto.
Es obvio que la elipse tiene dos lados rectos por tener dos focos.Después de saber las definiciones podremos contestar el siguiente problema, con ayuda del siguiente formulario.

FormularioElipse:Las ecuaciones de la elipse es:

x2 / a2 + y2 / b2x2 + y2 = cEje mayor:(a, 0) (-a, 0)

Coordenadas de Eje menor(0, b) (0, -b)

Coordenadas de los focos(c, 0) (-c, 0)

Para determinar el valor de “c” en una formula.C = √ a2 - b2

La derivada de el procucto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

La derivada

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje x\, de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo, si tomamos la velocidad de un móvil, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.